Calculer les dérivées partielles secondes et la matrice hessienne de la fonction \(f\) définie par l'expression suivante : $$\sin^2(y/x)$$

Vérifier que la fonction est de classe \(\mathscr C^2\) pour pouvori appliquer le théorème de Schwarz après (et calculer une dérivée seconde en moins)
La fonction \(f\) est de classe \(\mathscr C^2\) sur \({\Bbb R}^*\times{\Bbb R}\)

Calcul des dérivées partielles secondes
$$\begin{align}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=2\sin(y/x)\cos(y/x)\times\left(\frac{-y}{x^2}\right)=\frac{-y}{x^2}\sin\left(\frac{2y}x\right)\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)&=\frac1x\sin\left(\frac{2y}x\right)\end{align}$$
$$\begin{align}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)&=\cos\left(\frac{2y}x\right)\times\frac{2y^2}{x^4}+\sin\left(\frac{2y}x\right)\times\frac{2y}{x^3}\\ \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)&=-\frac1{x^2}\sin\left(\frac{2y}x\right)-\frac1x\cos\left(\frac{2y}x\right)\times\frac{2y}{x^2}\\ \frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)&=\frac2{x^2}\cos\left(\frac{2y}x\right)\end{align}$$

Calcul de la matrice hessienne

La matrice hessienne de \(f\) est : $$\begin{pmatrix}\frac{2y^2}{x^4}\cos(\frac{2y}x)+\frac{2y}{x^3}\sin(\frac{2y}x)&-\frac1{x^2}\sin(\frac{2y}x)-\frac{2y}{x^3}\cos(\frac{2y}x)\\ -\frac1{x^2}\sin(\frac{2y}x)-\frac{2y}{x^3}\cos(\frac{2y}x)&\frac2{x^3}\cos(\frac{2y}x)\end{pmatrix}$$